Bəy Keyvərdə

Diskret X təsadüfi dəyişəninin hər bir mümkün x x dəyərinə bağlı olaraq, təcrübənin bir sınağında X -in x dəyərini alması ehtimalı P (x) -dir.

Tərif

Hər bir dəyəri və onun ehtimal ehtimal paylanması siyahısı. diskret təsadüfi dəyişən bir X hər mümkün dəyər siyahısı X ehtimalı ilə birlikdə X təcrübə bir mühakimə ki, dəyəri edir.

X təsadüfi dəyişəninin ehtimal paylanmasında ehtimallar aşağıdakı iki şərti yerinə yetirməlidir:

  1. Hər ehtimal P (x) 0 ilə 1: 0 ≤ P (x) ≤ 1 arasında olmalıdır.
  2. Bütün ehtimalların cəmi 1 -dir: Σ P (x) = 1.

Misal 1

Ədalətli bir sikkə iki dəfə atılır. X müşahidə olunan başların sayı olsun .

  1. X -in ehtimal paylanmasını qurun .
  2. Ən azı bir başın müşahidə olunma ehtimalını tapın.

X -in götürə biləcəyi mümkün dəyərlər 0, 1 və 2 -dir. Bu ədədlərin hər biri, S = nümunə məkanında bu təcrübə üçün eyni ehtimal olunan nəticələrə uyğundur: X = 0 , X = 1 - və X = 2 - . Bu hadisələrin hər birinin, buna görə də X -in müvafiq dəyərinin olma ehtimalını, sadəcə saymaqla vermək olar.

x 0 1 2 P (x) 0,25 0,50 0,25

Bu cədvəl X -in ehtimal paylanmasıdır .

"Ən azı bir baş", X = 1 və X = 2 qarşılıqlı hadisələrin birliyi olan X ≥ 1 hadisəsidir .

P (X ≥ 1) = P (1) + P (2) = 0.50 + 0.25 = 0.75

Ehtimal paylanmasını qrafik şəkildə əks etdirən histoqram Şəkil 4.1 "Ədalətli sikkəni iki dəfə atmaq üçün ehtimal paylanması" nda verilmişdir.

Şəkil 4.1 İki dəfə ədalətli bir sikkə atma ehtimalının paylanması

Misal 2

Bir cüt ədalətli zar yuvarlanır. X üst üzlərdəki nöqtələrin sayının cəmini ifadə etsin .

  1. X -in ehtimal paylanmasını qurun .
  2. Axtar P ( X ≥ 9).
  3. X -in bərabər dəyər alma ehtimalını tapın .

Eyni ehtimal olunan nəticələrin nümunə məkanıdır

X üçün mümkün olan dəyərlər 2 ilə 12 arasındakı rəqəmlərdir. X = 2 hadisəsi olduğu üçün P (2) = 1 ∕ 36. X = 3 hadisəsidir, buna görə P (3) = 2 ∕ 36. Bu şəkildə davam edərək cədvəli əldə edirik

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P (x) 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36

Bu cədvəl X -in ehtimal paylanmasıdır .

Tədbirdə X ≥ 9 qarşılıqlı eksklüziv hadisələr birliyidir X = 9, X = 10, X = 11, və X Beləliklə = 12

Dərhal X -in cüt dəyər alma ehtimalının 0,5 olması lazım olduğu qənaətinə gəlməzdən əvvəl X -in altı fərqli cüt dəyər aldığını, ancaq beş fərqli tək dəyər aldığını unutmayın . Hesablayırıq

P (X bərabərdir) = P (2) + P (4) + P (6) + P (8) + P (10) + P (12) = 1 36 + 3 36 + 5 36 + 5 36 + 3 36 + 1 36 = 18 36 = 0.5

Ehtimal paylanmasını qrafik şəkildə göstərən histoqram Şəkil 4.2 "İki ədalətli zar atmaq üçün ehtimal paylanması" nda verilmişdir.

Şəkil 4.2 İki ədalətli zar atmaq üçün ehtimal paylanması

Diskret təsadüfi dəyişənin orta və standart sapması

Tərif

Orta sayı Σ x P (x), təkrar məhkəmə sonra orta ölçü. (həmçinin gözlənilən dəyər Onun ortası adlanır. ) X ayrı bir təsadüfi dəyişənin sayıdır

μ = E (X) = Σ x P (x)

Təsadüfi bir dəyişənin ortalaması, təcrübənin təkrarlanan sınaqlarında təsadüfi dəyişənin qəbul etdiyi dəyərlərin ortalaması kimi şərh edilə bilər.

Misal 3

Ehtimal paylanması olan X diskret təsadüfi dəyişənin ortalamasını tapın

x - 2 1 2 3.5 P (x) 0.21 0.34 0.24 0.21

Tərifdəki düstur verir

μ = Σ x P (x) = ( - 2) · 0.21 + (1) · 0.34 + (2) · 0.24 + (3.5) · 0.21 = 1.135

Misal 4

Böyük bir şəhərdəki bir xidmət təşkilatı hər ay bir lotereya təşkil edir. Min bir lotereya bileti hər biri 1 dollara satılır. Hər kəsin qazanmaq şansı bərabərdir. Birinci mükafat 300 dollar, ikinci mükafat 200 dollar, üçüncü mükafat isə 100 dollardır. X bir bilet alaraq əldə etdiyi xalis qazancı ifadə etsin .

  1. X -in ehtimal paylanmasını qurun .
  2. Bir bilet alarkən hər hansı bir pul qazanma ehtimalını tapın.
  3. X -in gözlənilən dəyərini tapın və mənasını şərh edin.

Bir bilet ilk mükafat sahibi olaraq seçilsə, alıcının xalis qazancı, bilet üçün ödənilən 1 dollar çıxılan 300 dollar mükafatıdır, beləliklə X = 300 - 1 = 299. Belə bir bilet var, buna görə P (299) ) = 0.001. İkinci və üçüncü mükafat sahiblərinə və 997 bilet itirənlərə eyni "gəlir minus çıxışı" prinsipini tətbiq etmək ehtimal paylanmasını verir:

Mükafatlardan birini qazanmaq üçün biletin seçilməsi hadisəsini W qeyd edək . Cədvəldən istifadə etməklə

Gözlənilən dəyərin tərifində düsturdan istifadə edərək,

E (X) = 299 · 0.001 + 199 · 0.001 + 99 · 0.001 + ( - 1) · 0.997 = - 0.4

Mənfi dəyər, bir insanın orta hesabla pul itirməsi deməkdir. Xüsusilə, kimsə dəfələrlə bilet alsaydı, o zaman -zaman qazansa da, hər bilet üçün orta hesabla 40 qəpik itirərdi.

Aşağıdakı sadələşdirilmiş nümunədə göstərildiyi kimi, gözlənilən dəyər anlayışı sığorta sənayesi üçün də əsasdır.

Misal 5

Həyat sığortası şirkəti, müəyyən bir risk qrupundakı bir şəxsə 195 dollar mükafata 200 min dollarlıq bir illik həyat sığortası polisi satacaq. Bu risk qrupunda olan bir şəxsin bir il sağ qalma şansı 99,97% olarsa, tək bir siyasət şirkətinin gözlənilən dəyərini tapın.

Let X belə bir siyasətin satışından şirkətin xalis mənfəət adlanır. İki ehtimal var: sığortalı bütün ili yaşayır və ya sığortaolunan il bitməmiş ölür. "Gəlir minus çıxış" prinsipini tətbiq edərək, əvvəlki halda X -in dəyəri 195 - 0; ikinci halda 195 - 200,000 = - 199,805 -dir. Birinci halda ehtimal 0.9997, ikinci halda isə 1 - 0.9997 = 0.0003 olduğu üçün X üçün ehtimal payı :

x 195 - 199.805 P (x) 0.9997 0.0003

E (X) = Σ x P (x) = 195 · 0.9997 + ( - 199.805) · 0.0003 = 135

Bəzən (əslində, 10,000 -də 3 dəfə), şirkət bir siyasətdə böyük miqdarda pul itirir, lakin adətən E (X) hesablamamızla satılan hər siyasət üçün 135 dollar xalis gəlir əldə edən 195 dollar qazanır. orta

Tərif

Müxalifət, σ 2 diskret təsadüfi dəyişən ki, X sayı

σ 2 = Σ (x - μ) 2 P (x)

cəbr formuluna bərabərdir

σ 2 = Σ x 2 P (x) - μ 2

Tərif

Standart sapma sayı Σ (x - μ) 2 P (x) (həmçinin istifadə edərək hesablanır [Σ x 2 P (x)] - μ 2), təkrar məhkəmə onun dəyişkənlik ölçü. , σ , X ayrı bir təsadüfi dəyişənin varyansının kvadrat köküdür, buna görə də düsturlar ilə verilir

σ = Σ (x - μ) 2 P (x) = Σ x 2 P (x) - μ 2

Diskret təsadüfi dəyişən X -in dispersiyası və standart sapması təcrübənin təkrar sınaqlarında təsadüfi dəyişənin qəbul etdiyi dəyərlərin dəyişkənliyinin ölçüləri kimi şərh oluna bilər. Standart sapma üzrə vahidlər X -ə uyğun gəlir .

Misal 6

X ayrı bir təsadüfi dəyişən aşağıdakı ehtimal paylanmasına malikdir:

x - 1 0 1 4 P (x) 0,2 0,5 a 0,1

Ehtimal paylanmasını qrafik şəkildə göstərən histoqram Şəkil 4.3 "Diskret təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması" nda verilmişdir.

Şəkil 4.3 Diskret təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması

Aşağıdakı miqdarların hər birini hesablayın.

  1. a .
  2. P (0).
  3. P ( X >0).
  4. P ( X ≥ 0).
  5. P (X ≤ - 2).
  6. X -nin ortalama μ .
  7. X -in ance 2 dispersiyası .
  8. Standart sapma σ of X .
  1. Bütün ehtimallar 1 -ə qədər artmalı olduğundan a = 1 - (0.2 + 0.5 + 0.1) = 0.2.
  2. Birbaşa masadan, P (0) = 0.5.
  3. Cədvəldən P (X>0) = P (1) + P (4) = 0.2 + 0.1 = 0.3.
  4. Cədvəldən P (X ≥ 0) = P (0) + P (1) + P (4) = 0.5 + 0.2 + 0.1 = 0.8.
  5. X üçün mümkün olan dəyərlərin heç biri −2 -dən az və ya bərabər olmadığından, X ≤ -2 hadisəsi qeyri -mümkündür, buna görə P ( X ≤ −2) = 0.

Μ tərifində düsturdan istifadə edərək ,

Σ 2 tərifində düsturdan və yeni hesablanmış μ dəyərindən istifadə edərək ,

Açar yeməklər

  • Diskret təsadüfi dəyişən ehtimalı paylanması X hər bir mümkün dəyər siyahısı var x atdığı X ehtimalı P (x) ilə birlikdə X təcrübə bir mühakimə ki, dəyəri edir.
  • Orta μ diskret təsadüfi dəyişən bir X orta dəyəri göstərir bir sıra X sınaq çoxsaylı məhkəmə üzərində. Μ = Σ x P (x) düsturu ilə hesablanır.
  • Diskret təsadüfi dəyişən X -in ance 2 dispersiyası və standart sapması σ , sınağın çoxsaylı sınaqlarında X -in dəyişkənliyini göstərən rəqəmlərdir . Bunlar σ 2 = [Σ x 2 P (x)] - μ 2 düsturu ilə hesablanaraq, root almaq üçün kvadrat kök alınır .

Məşqlər

Əsas

Cədvəlin ayrı bir təsadüfi dəyişənin etibarlı bir ehtimal payı olub olmadığını müəyyənləşdirin. Tam izah edin.

x - 2 0 2 4 P (x) 0.3 0.5 0.2 0.1

x 0,5 0,25 0,25 P (x) - 0,4 0,6 0,8

x 1.1 2.5 4.1 4.6 5.3 P (x) 0.16 0.14 0.11 0.27 0.22

Cədvəlin ayrı bir təsadüfi dəyişənin etibarlı bir ehtimal payı olub olmadığını müəyyənləşdirin. Tam izah edin.

x 0 1 2 3 4 P (x) - 0,25 0,50 0,35 0,10 0,30

x 1 2 3 P (x) 0.325 0.406 0.164

x 25 26 27 28 29 P (x) 0.13 0.27 0.28 0.18 0.14

X ayrı bir təsadüfi dəyişən aşağıdakı ehtimal paylanmasına malikdir:

x 77 78 79 80 81 P (x) 0.15 0.15 0.20 0.40 0.10

Aşağıdakı miqdarların hər birini hesablayın.

  1. P (80).
  2. P ( X >80).
  3. P ( X ≤ 80).
  4. X -nin ortalama μ .
  5. X -in ance 2 dispersiyası .
  6. Standart sapma σ of X .

X ayrı bir təsadüfi dəyişən aşağıdakı ehtimal paylanmasına malikdir:

x 13 18 20 24 27 P (x) 0.22 0.25 0.20 0.17 0.16

Aşağıdakı miqdarların hər birini hesablayın.

  1. P (18).
  2. P ( X >18).
  3. P ( X ≤ 18).
  4. X -nin ortalama μ .
  5. X -in ance 2 dispersiyası .
  6. Standart sapma σ of X .

Bir cütdə hər bir ölüm "yüklənərsə", biri lazım olduğu qədər yarıya, altı da lazım olduğu qədər yarıya qədər çıxar və digər üzlərin ehtimalları dəyişməzsə, cəm üçün ehtimal payı İkisi yuvarlandığında üst üzlərdəki nöqtələrin sayının X olmasıdır

x 2 3 4 5 6 7 P (x) 1 144 4 144 8 144 12 144 16 144 22 144 x 8 9 10 11 12 P (x) 24 144 20 144 16 144 12 144 9 144

Aşağıdakıların hər birini hesablayın.

  1. P (5 ≤ X ≤ 9).
  2. P ( X ≥ 7).
  3. X -nin ortalama μ . (Ədalətli zarlar üçün bu rəqəm 7 -dir.)
  4. Standart sapma σ of X . (Ədalətli zarlar üçün bu rəqəm təxminən 2.415 -dir.)

Tətbiqlər

Borachio avtomobil şinləri fabrikində işləyir. Təsadüfi bir gündə istehsal etdiyi səsli, lakin ləkəli təkərlərin X sayı ehtimal payına malikdir

  1. Borachio -nun sabah üçdən çox ləkəli təkər istehsal etmə ehtimalını tapın.
  2. Borachio -nun sabah ən çox iki ləkəli təkər istehsal etmə ehtimalını tapın.
  3. X -in orta və standart sapmasını hesablayın . Problemin kontekstində ortalamanı şərh edin.

Hamster yetişdiricisinin təcrübəsinə görə , son altı həftə ərzində zibil götürməmiş on iki aylıq bir dişi zibilində canlı bala sayı X ehtimal paylanmasına malikdir.

  1. Növbəti zibilin beş -yeddi canlı bala vermə ehtimalını tapın.
  2. Növbəti zibilin ən az altı canlı bala vermə ehtimalını tapın.
  3. X -in orta və standart sapmasını hesablayın . Problemin kontekstində ortalamanı şərh edin.

Yaz aylarında bir inşaat qrupunun hava səbəbindən işləyə bilmədiyi günlərin sayı X ehtimal payına malikdir

  1. Gələn yay on gündən çox olmayacaq.
  2. Gələn yay 8 gündən 12 günə qədər itirilmə ehtimalını tapın.
  3. Gələn yay heç bir günün itirilməyəcəyi ehtimalını tapın.
  4. X -in orta və standart sapmasını hesablayın . Problemin kontekstində ortalamanı şərh edin.

X təsadüfi seçilmiş üç uşaqlı ailənin oğlan sayını ifadə etsin . Oğlan və qızların eyni ehtimal olduğunu düşünsək, X -in ehtimal paylanmasını qurun .

X , ədalətli bir sikkənin başını üç dəfə ataraq neçə dəfə başına düşdüyünü ifadə etsin . X -in ehtimal paylanmasını qurun .

Beş min lotereya bileti hər biri 1 dollara satılır. Bir bilet 1000 dollar, iki bilet hər biri 500 dollar, on bilet hər biri 100 dollar qazanacaq. X təsadüfi seçilmiş biletin alınmasından əldə edilən xalis qazancı ifadə etsin .

  1. X -in ehtimal paylanmasını qurun .
  2. Gözlənilən dəyəri E (X) hesablamaq X . Mənasını şərh edin.
  3. Standart sapma hesablamaq σ of X .

Yeddi min lotereya biletinin hər biri 5 dollara satılır. Bir bilet 2000 dollar, iki bilet hər biri 750 dollar, beş bilet hər biri 100 dollar qazanacaq. X təsadüfi seçilmiş biletin alınmasından əldə edilən xalis qazancı ifadə etsin .

  1. X -in ehtimal paylanmasını qurun .
  2. Gözlənilən dəyəri E (X) hesablamaq X . Mənasını şərh edin.
  3. Standart sapma hesablamaq σ of X .

Sığorta şirkəti 478 dollar mükafat üçün müəyyən bir risk qrupunda olan bir şəxsə 90 min dollarlıq bir illik həyat sığortası polisi satacaq. Bu risk qrupundakı bir şəxsin bir il sağ qalma şansı 99,62% olarsa, tək bir siyasət şirkətinin gözlənilən dəyərini tapın.

Bir sığorta şirkəti, müəyyən bir risk qrupundakı bir şəxsə 368 dollar mükafat üçün 10.000 dollarlıq bir illik həyat sığortası polisi satacaq. Bu risk qrupundakı bir şəxsin bir il sağ qalma şansı 97,25% olarsa, tək bir siyasət şirkətinin gözlənilən dəyərini tapın.

Bir sığorta şirkəti, müəyyən bir risk qrupundakı bir fərdin bir il sağ qalma ehtimalının 0.9825 olduğunu təxmin edir. Belə bir adam bir illik 150 min dollarlıq həyat sığortası almaq istəyir. Gəlin C , sığorta şirkətinin belə bir şəxsə belə bir siyasət üçün nə qədər pul ödədiyini bildirsin.

  1. X -in ehtimal paylanmasını qurun . (Cədvəldəki iki giriş C ehtiva edir .)
  2. Gözlənilən dəyəri E (X) hesablamaq X .
  3. Şirkətin bütün bu cür siyasətləri poza bilməsi üçün C dəyərinin nə olduğunu müəyyənləşdirin (yəni bu siyasətlər üzrə hər bir siyasətə görə xalis mənfəət sıfıra bərabər olsun).
  4. Şirkətin bütün bu siyasətlər üzrə siyasət başına 250 dollar xalis mənfəət əldə etməsi üçün C dəyərinə sahib olun.

Bir sığorta şirkəti müəyyən bir risk qrupunda olan bir fərdin bir il sağ qalma ehtimalının 0,99 olduğunu təxmin edir. Belə bir şəxs bir illik 75 min dollarlıq həyat sığortası almaq istəyir. Gəlin C , sığorta şirkətinin belə bir şəxsə belə bir siyasət üçün nə qədər pul ödədiyini bildirsin.

  1. X -in ehtimal paylanmasını qurun . (Cədvəldəki iki giriş C ehtiva edir .)
  2. Gözlənilən dəyəri E (X) hesablamaq X .
  3. Şirkətin bütün bu cür siyasətləri poza bilməsi üçün C dəyərinin nə olduğunu müəyyənləşdirin (yəni bu siyasətlər üzrə hər bir siyasətə görə xalis mənfəət sıfıra bərabər olsun).
  4. Şirkətin bütün bu siyasətlər üzrə siyasət başına 150 dollar xalis mənfəət əldə etməsi üçün C dəyərinə sahib olun.

Bir ruletdə 38 yuva var. Otuz altı yuva 1-dən 36-a qədər nömrələnir; yarısı qırmızı, yarısı qara. Qalan iki yuva 0 və 00 nömrələnir və yaşıldır. Qırmızı rəngli $ 1 bahisində, bahisçi oynamaq üçün 1 dollar ödəyir. Top qırmızı bir yuvaya düşərsə, bahis etdiyi dolları və əlavə bir dolları geri alır. Top qırmızıya düşməsə dollarını itirər. Let X oyun bir oyun bettor xalis mənfəət adlanır.

  1. X -in ehtimal paylanmasını qurun .
  2. Gözlənilən dəyəri E (X) Compute X və problemin kontekstində onun mənasını şərh.
  3. X standart sapmasını hesablayın .

Bir ruletdə 38 yuva var. Otuz altı yuva 1-dən 36-a qədər nömrələnir; Qalan iki yuva 0 və 00 ilə nömrələnmişdir. Tutaq ki, "nömrə" 00 bərabər deyil, amma 0 sayı hələ də bərabərdir. 1 dollarlıq bahisdə bahisçi oynamaq üçün 1 dollar ödəyir. Top bərabər saylı bir yuvaya düşərsə, bahis etdiyi dolları və əlavə bir dolları geri alır. Top cüt saylı bir yuvaya düşmürsə, dollarını itirir. Let X oyun bir oyun bettor xalis mənfəət adlanır.

  1. X -in ehtimal paylanmasını qurun .
  2. Gözlənilən dəyəri E (X) Compute X , və (0 hətta hesab edilir) Bu oyun casino təklif niyə izah edir.
  3. X standart sapmasını hesablayın .

Bir şəhər avtobusunun marşrutunun bir ucundan digərinə getməli olduğu dəqiqənin bütün dəqiqəsinə qədər ehtimal payı göstərilmişdir. Bəzən empirik nisbi tezliklər kimi hesablanan ehtimallarda olduğu kimi, cədvəldəki ehtimallar yuvarlaqlaşdırma xətasına görə yalnız 1.00-dən başqa bir dəyərə əlavə olunur.

  1. Avtobusun marşrut uzunluğunu sürmək üçün çəkdiyi ortalama vaxtı tapın.
  2. Avtobusun marşrutunun uzunluğunu idarə etmək üçün lazım olan vaxtın standart sapmasını tapın.

Tybalt, milli bir lotereyaya girmək təklifini poçtla alır. Mükafatlar və qazanma şansı təklifdə belə göstərilir: 5 milyon dollar, 65 milyonda bir şans; 150.000 dollar, 6.5 milyonda bir şans; 5000 dollar, 650.000 -də bir şans; və 1000 dollar, 65.000 -də bir şans. Tybaltın girişini poçtla göndərmək 44 qəpiyə başa gəlirsə, lotereyaların onun üçün gözlənilən dəyəri nədir?

Əlavə Məşqlər

Təsadüfi seçilmiş 1 kiloluq qutudakı X dırnaq sayı ehtimal paylanmasını göstərir. Bir kiloqram üçün ortalama dırnaq sayını tapın.

x 100 101 102 P (x) 0,01 0,96 0,03

Üç ədalətli zar bir anda yuvarlanır. X , ən az bir başqasının ölməsi ilə eyni nöqtəyə sahib olan zarların sayını ifadə etsin . Üçün ehtimal paylanması X edir

  1. İtkin dəyər tap u of X .
  2. İtkin ehtimalını tapın p .
  3. X ortalamasını hesablayın .
  4. X standart sapmasını hesablayın .

İki ədalətli zar bir anda yuvarlanır. X , iki zarın üst üzündə görünən nöqtə sayındakı fərqi ifadə etsin . Beləliklə, məsələn, bir və beş yuvarlanırsa, X = 4 və iki altılıq yuvarlanırsa, X = 0.

  1. X üçün ehtimal paylanmasını qurun .
  2. Orta hesablamaq μ of X .
  3. Standart sapma hesablamaq σ of X .

Ədalətli bir sikkə ya yerə enənə qədər, ya da ilk olaraq beş dəfə atılana qədər dəfələrlə atılır. Qoy X etdi tosses sayı adlanır.

  1. X üçün ehtimal paylanmasını qurun .
  2. Orta hesablamaq μ of X .
  3. Standart sapma hesablamaq σ of X .

İstehsalçı, tədarükçüdən 100 ədəd göndərmə zamanı müəyyən bir komponent alır. Hər göndərmədə iki ədəd təsadüfi seçilir və sınaqdan keçirilir. Bölmələrdən biri qüsurlu olarsa, göndərmə rədd edilir. Bir göndərmədə 5 qüsurlu vahid olduğunu düşünək.

  1. Belə bir nümunədə qüsurlu vahidlərin X sayının ehtimal paylanmasını qurun. (Bir ağac diaqramı faydalıdır.)
  2. Belə bir göndərişin qəbul olunma ehtimalını tapın.

Shylock, hər payday günü 16.30 -da yerli bir bank bankına girir və bu zaman həmişə iki növbətçi var. Bankdakı ya bir kassir pəncərəsində olan və ya bir sonrakı kassir üçün tək sətirdə gözləyən X müştərilərin sayı aşağıdakı ehtimal paylanmasına malikdir.

  1. Shylock daxil olduğu anda bankda ən çox hansı müştərini görür?
  2. Növbədə gözləyən neçə müştəri, daxil olduğu anı ən çox görür?
  3. Shylock daxil olduğu anda növbə gözləyən müştəri sayı nə qədərdir?

Təklif olunan bir açıq teatrın sahibi, bütün hava şəraitində tamaşaların nümayişinə icazə verəcək bir örtüyün daxil olub -olmamasına qərar verməlidir. Proqnozlaşdırılan tamaşaçı ölçülərinə və hava şəraitinə əsaslanaraq , qapaq quraşdırılmadığı təqdirdə gecə başına gəlir X üçün ehtimal payıdır

Hava x P (x) Açıq $ 3000 0 .61 Təhdid 2800 $ 0 .17 Yüngül yağış $ 1975 0 .11 Göstərməni ləğv edən yağış $ 0 0 .11

Qapağın əlavə dəyəri 410 min dollardır. Sahib, bu xərc, örtüyün ilk 90 gecə mövsümündə verdiyi artan gəlirdən geri qaytarılacağı təqdirdə tikdirəcək.