Binomial Dağılım: Ayrı-ayrı bir nəticə üçün ehtimal modeli

Binomial paylama modeli iki mümkün nəticə olduqda istifadə olunan vacib bir ehtimal modelidir (bu səbəbdən "binomial"). İkidən çox fərqli nəticənin olduğu bir vəziyyətdə, çoxhəqiməli bir ehtimal modeli uyğun ola bilər, amma burada nəticənin ikitərəfli olduğu vəziyyətə diqqət yetiririk.

Məsələn, alerjisi olan böyüklər dərmanla rahatlaşma barədə məlumat verə bilər və ya vermir, bakterial infeksiyalı uşaqlar antibiotik terapiyasına cavab verə bilər və ya vermir, miyokard infarktı keçirən böyüklər ürək böhranından sağ çıxa bilər, ya da koronar stent kimi tibbi cihaz müvəffəqiyyətlə implantasiya olun və ya edilməməlidir. Bunlar, maraqların nəticəsinin iki mümkün dəyərə malik olduğu tətbiq və ya proseslərdən yalnız bir neçəsidir (yəni ikiqatdır). İki nəticə tez-tez "müvəffəqiyyət" və "uğursuzluq" olaraq maraq nəticəsinin varlığını göstərən müvəffəqiyyətlə etiketlənir. Bununla birlikdə, bir çox tibbi və ictimai sağlamlıq sualları üçün nəticənin və ya hadisənin, xəstəliyin ortaya çıxması olduğu açıq bir şəkildə həqiqətən uğurlu olmadığına diqqət yetirin. Buna baxmayaraq,bu terminologiya tipik olaraq binomial paylama modelini müzakirə edərkən istifadə olunur. Nəticə olaraq, binomial paylamadan istifadə etdikdə, hansı nəticənin "müvəffəqiyyət", hansının "uğursuzluq" olduğunu dəqiq müəyyənləşdirməliyik.

Binomial paylama modeli, prosesin konkret bir neçə dəfə təkrarlandığı zaman (məsələn, bir sıra xəstələrdə) müəyyən bir "müvəffəqiyyət" in müşahidə olunma ehtimalını hesablamağa imkan verir və müəyyən bir xəstə üçün nəticə ya müvəffəq olur, ya da uğursuzluq. Əvvəlcə binomial paylama modeli üçün lazım olan bəzi qeydləri təqdim etməliyik.

Əvvəlcə "n" -in müşahidələrin sayını və ya prosesin neçə dəfə təkrarlandığını və "x" -nin "n" müşahidələr zamanı baş verən "uğurların" və ya maraqlı hadisələrin sayını bildirməsinə icazə veririk. "Uğur" ehtimalı və ya faiz nəticəsinin meydana gəlməsi "p" ilə göstərilir.

Binom tənlikdə faktoriallardanda istifadə olunur . Riyaziyyatda mənfi olmayan tam k-nin faktorialı, k-dan kiçik və ya bərabər olan bütün müsbət tamlıqların məhsulu olan k! İlə qeyd olunur. Misal üçün,

  • 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24,
  • 2! = 2 x 1 = 2,
  • 1! = 1.
  • Xüsusi bir iş var, 0! = 1.

Bu işarəni nəzərə alaraq binomial paylama modeli aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Binomial paylama modeli

Binomial paylamanın istifadəsi üç fərziyyə tələb edir:

  1. Prosesin hər təkrarlanması iki mümkün nəticədən biri ilə nəticələnir (uğur və ya uğursuzluq),
  2. Müvəffəqiyyət ehtimalı hər təkrarlama üçün eynidır və
  3. Replikasiyalar müstəqildir, yəni bir xəstədəki bir müvəffəqiyyət digərindəki müvəffəqiyyət ehtimalını təsir etmir.

Binom dağılımının daha intuitiv izahı üçün KhanAcademy.org saytından aşağıdakı videoya baxmaq istəyə bilərsiniz.

Binomial Modelin istifadə nümunələri

1. Allergiyaların aradan qaldırılması

Tutaq ki, allergiyası olan yetkinlərin% 80-i spesifik bir dərmanla simptomatik relyef bildirirlər. Dərman alerjisi olan 10 yeni xəstəyə verilirsə, tam yeddisində təsirli olma ehtimalı nə qədərdir?

Birincisi, binomial paylama modelinin üç fərziyyəsini təmin edirikmi?

  1. Nəticə simptomlardan qurtulmaqdır (bəli və ya yox) və burada bildirilən simptomlardan qurtulmağı 'uğur' adlandıracağıq.
  2. Hər bir şəxs üçün müvəffəqiyyət ehtimalı 0,8-dir.
  3. Son fərziyyə təkrarlamaların müstəqil olmasıdır və bunun doğru olduğunu qəbul etmək ağlabatandır.
  • # müşahidə n = 10-dur
  • # müvəffəqiyyət və ya maraqlı hadisə x = 7-dir
  • p = 0.80

7 müvəffəqiyyət ehtimalı:

Bu bərabərdir:

Lakin sayda və məxrəcdəki bir çox şərt bir-birini ləğv edir,

buna görə bu sadələşdirilə bilər:

Təfsir: 10 xəstədən 7-nin simptomlardan xilas olduğunu bildirmə ehtimalı% 20.13-dir; hər hansı birinin yüngülləşmə ehtimalı% 80 olduqda.

Qeyd: Bunun kimi binomial ehtimallar = BINOMDIST funksiyasından istifadə edərək Excel elektron cədvəlində də hesablana bilər. Kursoru boş bir hüceyrəyə yerləşdirin və aşağıdakı formulu daxil edin:

burada x '# uğurlar', n = # təkrarlama və ya müşahidələr və p = tək bir müşahidədə müvəffəq olma ehtimalı.

Heç kimin rahatlamadığını bildirmə ehtimalı nə qədərdir? Yenidən n = 10, x = 0 və p = 0.80 olan binomial paylama modelindən istifadə edə bilərik.

Bu bərabərdir

whixh sadələşdirmələr

Təfsir: Hər hansı bir fərdi xəstəyə relyef bildirmə ehtimalı% 80 olduqda, 10-dan heç birinin simptomlardan qurtulacağını bildirməməsi praktik olaraq heç bir şans yoxdur.

10 xəstədən relyefini bildirəcək xəstələrin sayı ən çox hansıdır? Əgər% 80 relyef bildirərsə və 10 xəstəni düşünsək, 8 relyefin olacağını gözləyirik. 10-dan tam 8-nin hesabat vermə ehtimalı nə qədərdir? Yuxarıda göstərilən metodu istifadə edərək hər 10 xəstədən 8-nin simptomlardan qurtulacağını bildirmə ehtimalı% 30.30 olduğunu ehtimal etdiyini göstərmək üçün istifadə edə bilərik. Tam olaraq 8 hesabat relyefinin olma ehtimalı bütün mümkün nəticələrin ən yüksək ehtimalı olacaqdır (0 ilə 10 arasında).

2. Ürək tutmasından sonra ölmə ehtimalı

Ürək böhranı keçirən bir xəstənin hücumdan ölmə ehtimalı 0,04 (yəni hücumdan 100 ölümdən 4-ü ölür). Tutaq ki, infarkt keçirən 5 xəstəmiz var, hamısının sağ qalma ehtimalı nə qədərdir? Bu misal üçün bir müvəffəqiyyəti ölümcül bir hücum adlandıracağıq (p = 0.04). N = 5 xəstəmiz var və hamısının sağ qalma ehtimalını və ya başqa sözlə, heç birinin ölümcül olmadığını bilmək istəyirik (0 uğur).

Fərziyyələri yenidən qiymətləndirməliyik. Hər hücum ölümcül və ya ölümcül olur, ölümcül hücum ehtimalı bütün xəstələr üçün% 4-dür və fərdi xəstələrin nəticələri müstəqildir. Qeyd etmək lazımdır ki, müvəffəq olma ehtimalının bütün xəstələrə aid olduğu fərziyyəsi diqqətlə qiymətləndirilməlidir. Bir xəstənin infarktdan ölmə ehtimalı yaş, hücumun şiddəti və digər müşayiət olunan şərtlər daxil olmaqla bir çox amillərdən asılıdır. % 4 ehtimalını tətbiq etmək üçün bütün xəstələrin ölümcül hücum riski ilə eyni olduğuna əmin olmalıyıq. Hadisələrin müstəqilliyinin fərziyyəsi də diqqətlə qiymətləndirilməlidir. Xəstələrin əlaqəsi olmadığı müddətcə, fərziyyə ümumiyyətlə uyğun gəlir. Xəstəliyin proqnozu eyni ailənin üzvlərində və ya birlikdə yaşayan şəxslərdə əlaqəli və ya əlaqəli ola bilər.Bu nümunədə, analiz edilən 5 xəstənin əlaqəsi olmayan, oxşar yaşda və komorbid şərtlər olmadığı fərz olun.

Hər hansı birinin ölmə ehtimalı% 4 olduqda, bütün xəstələrin hücumdan sağ çıxma ehtimalı% 81.54-dir. Bu nümunədə mümkün nəticələr 0, 1, 2, 3, 4 və ya 5 müvəffəqiyyətdir (ölüm). Ölüm ehtimalı çox az olduğu üçün ən çox cavab 0 (bütün xəstələr sağ qalır). Binomial düstur n-dən tam x müvəffəqiyyəti müşahidə etmə ehtimalı yaradır.

Bir sıra nəticələrin ehtimalının hesablanması

Bir sıra nəticələrin ehtimalını hesablamaq istəyiriksə, formulu bir dəfədən çox tətbiq etməliyik. Tutaq ki, infarkt nümunəsində infarktdan ən çox 1 nəfərin ölməehtimalını hesablamaq istədik . Başqa sözlə, 0 və ya 1, lakin 1-dən çox olmamalıdır. Xüsusilə P (1 müvəffəqiyyətdən çox deyil) = P (0 və ya 1 uğur) = P (0 uğur) + P (1 müvəffəqiyyət) istəyirik. Bu ehtimalı həll etmək üçün binomial düsturu iki dəfə tətbiq edirik.

Artıq P (0 müvəffəqiyyət) hesabladıq, indi P (1 müvəffəqiyyət) hesabladıq:

P (1 'uğur' dan çox deyil) = P (0 və ya 1 uğur) = P (0 uğur) + P (1 uğur)

= 0.8154 + 0.1697 = 0.9851.

Hücum nəticəsində 5-dən 1-dən çoxunun (və ya ona bərabər şəkildə 5-dən 1-nin) ölmə ehtimalı 98,51% -dir.

Hücumdan 5-dən 2-nin və ya daha çoxunun ölmə ehtimalı nə qədərdir? Burada P (2 və ya daha çox müvəffəqiyyət) hesablamaq istəyirik. Mümkün nəticələr 0, 1, 2, 3, 4 və ya 5-dir və bu nəticələrin hər birinin ehtimallarının cəmi 1-dir (yəni 0, 1, 2, 3, 4 və ya 5 müvəffəqiyyətləri müşahidə etdiyimizə əminik. ). Yalnız P (0 və ya 1 uğur) = 0.9851 hesabladıq, buna görə P (2, 3, 4 və ya 5 uğur) = 1 - P (0 və ya 1 uğur) = 0.0149. Hücumdan 5-dən 2-nin və ya daha çoxunun ölmə ehtimalı% 1.49% -dir.

Binomial populyasiyanın orta və standart sapması

Uğurların orta sayı:

N-10 sınaqları ilə alerjidən xilas olma ehtimalı və p = 0.80 hər sınaqda müvəffəq olma ehtimalı barədə birincilik nümunəsi üçün:

Binomial Ehtimal Kalkulyatoru

Fərz edək ki, bir sikkəni 10 dəfə çevirdiniz (yəni 10 sınaq) və "baş" almaq ehtimalı 0,5 (50%) idi. Dəqiq 4 heasds almaq ehtimalı nə olardı?

Binomial ehtimalların R ilə hesablanması

Hər sınaqda 4 müvəffəqiyyət, 10 sınaq və ehtimal = 0,5 ilə

Bunları hesablamaq üçün R kodlaşdırma

>pbinom (3, 10, 0.5, aşağı. quyruq = DOĞRU)

>pbinom (4, 10, 0.5, aşağı. quyruq = DOĞRU)

>pbinom (4, 10, 0.5, aşağı. quyruq = YALAN)

pbinom (3, 10, 0.5, aşağı. quyruq = YALAN)

Məzmun © 2016. Bütün hüquqlar qorunur.

Son dəyişiklik tarixi: 24 İyul 2016.

Wayne W. LaMorte, MD, PhD, MPH