Bəy kevərdə

Başlanğıcdan3045gün

keçdi

9 -cu həftə: Sikkə atmaq və Zəng əyrisi

Burada ehtimal olaraq bəzi sadə suallara baxırıq: bir sikkə atmaqdan Paskal üçbucağından binomial paylanmaya və hər yerdə "zəng əyrisi" nə qədər.

Giriş

Sikkə atmaq

"Bunun üçün çevirək! Başlar yoxsa quyruqlar?"Bir sikkə atmaq, mübahisələri həll etmək və bir cüt nəticə seçmək üçün qədim bir üsuldur. Hətta Romalılar belə, navia aut caput("gəmi və ya baş") adlandırsalar da sikkələri çevirirdilər.

Sikkənin atılmasının ədalətliliyi, nəticənin - başın və ya quyruğun eyni dərəcədə ehtimal olunduğuna əsaslanır. Bunu riyazi olaraq yazaraq,

Burada p (baş)- sikkənin yerə enərkən başını göstərmək ehtimalı.

Bir hadisənin ehtimalı 0 -dan 1 -ə qədər həqiqi bir rəqəmdir, 0 "heç vaxt olmur" və 1 "həmişə olur" mənasını verir. Bütün hadisələrin ehtimalları birə qədər artırır, yəni bütün ehtimallar nəzərə alınır, yəni

(Əlbəttə ki, sikkə kənarına enə bilər və ya havada qağayı tərəfindən udula bilər və s. Belə bir şey görməmişəm, sadəlik üçün deyək ki, digər bütün ehtimalların ehtimalı 0-dır) .

Ehtimalların birləşdirilməsi

İki atış

İndi bir sikkəni ardıcıl iki dəfə çevirək. İki baş almaq şansı nədir? Asan, 0,5 x 0,5 = 0,5 2 = 0,25 -dir. Başqa sözlə, 4 -də 1 dəfə baş verməlidir.

İki müstəqil hadisənin baş vermə ehtimalını tapmaq üçün iki fərdi hadisə ilə əlaqəli ehtimalları bir araya gətiririk. Əsas odur ki, bu iki hadisənin müstəqilhesab edildiyi üçün işləyir : birinci hadisənin nəticəsi ikinci hadisəyə təsir etmir və ya təsir etmir. Bir çox real həyatda, iki nadir hadisənin səhvən müstəqil olduğu qəbul edildikdə, onların ehtimallarının çoxalması ədalətin səhv edilməsinə səbəb ola biləcək birləşmiş ehtimalın qiymətləndirilməməsinə səbəb olur; ya nüvə me ltdowns!.

  • Birinci sikkə yuxarıya doğru, ikincisi isə aşağıya doğru (quyruqları yuxarı) və ya
  • Birinci sikkə aşağıya (quyruqlara), ikincisi isə yuxarıya doğru enir.

Bu halda, biz əlavəiki imkanları ehtimallar birlikdə. Beləliklə, bir baş və bir quyruq əldə etmək şansı p = 0,25 + 0,25 = 0,5 -dir. Yəni, hər dəfə olur (2 -də 1). Yoxla!

Üç atış

İndi bir sikkəni üç dəfə atmağı xəyal edək. 2 x 2 x 2 = 2 3 = 8 mümkün nəticələr var və bunları belə yazmaq olar:

  • HHH
  • HHT
  • HTH
  • HTT
  • THH
  • THT
  • TTH
  • TTT

burada (məsələn) HTT "əvvəlcə baş, sonra quyruq, sonra quyruq alırıq" deməkdir.

Səkkiz ehtimalın hər biri eyni dərəcədə ehtimallıdır, buna görə də hər birinin 1/8 = 0.125 ehtimalı var. "İki baş və bir quyruq" əldə etmə ehtimalını tapmaq üçün HHT, HTH və THH ehtimallarını bir araya gətiririk. Belə ki:

  • p (3 baş) = p (0 baş) = 1/8 = 0.125
  • p (2 baş) = p (1 baş) = 3/8 = 0.375

Bir çox atışlar

İndi bir sikkənin ndəfə atılmasını təsəvvür edək . Ehtimalları belə yaza bilərik:

p (başların sayı, atışların sayı)

Yuxarıdakı məntiqə əsasən , natışda kbaşı alma ehtimalının düsturu belə olmalıdır:

p (k, n) = (1/2) n C (k, n)

burada C (k, n), HHTHTTHTH simli olan simvolların düzülüşünün müxtəlif yollarının sayıdır. kH və ( n - k) T -lərinxüsusiyyətlərinə malikdir .

Paskal üçbucağıvə bin omial əmsalları

C (k, n) riyaziyyatçılara Binomial Katsayısı olaraq bilinir və ümumiyyətlə olaraq qeyd olunur. Bəzən " n seçmək k" adlanır və nehtimaldan kmaddə seçməyin müxtəlif yollarının sayı olduğu fikrini ifadə edir - burada nuzunluğunda bir sətirdə H -lərin kmövqeləri .

Paskal üçbucağı binom əmsallarından ibarətdir:

Məsələn, beşinci sıra soldan sağa k = 0, 1, 2, 3, 4 arasında oxunan "4 seçin k" əmsallarından ibarətdir.

Paskal üçbucağının cərgələri - və buna görə də binom əmsalları - cəbrdə "mötərizələri çoxaltdığımızda" da görünür.

(a + b) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + 1b 4.

Binomial əmsalların burada görünməsi təəccüb doğurmamalıdır, məsələn, a 2 b 2 əmsalı sadəcə iki a və iki b -nin (məsələn, aabb, abab, abba, baab, baba) tənzimlənmə üsullarının sayıdır. , bbaa).

Binomial əmsalların hesablanması

Paskal üçbucağında olan hər bir rəqəm, üstündəki iki ədədin cəmidir. Bu, Paskal üçbucağının və buna görə də bütün binomial əmsalların çoxluğunu hesablamaq üçün bizə sadə bir rekursiv metod verir. Alternativ olaraq, fərdi bir əmsal hesablamaq üçün burada verilən faktorial düsturdan istifadə edə bilərik.

Simulyasiya və Statistika

Mən qərəzliəmmi?

Bir sikkəni 1000 dəfə çevirərək başların sayını düşünün. "Orta hesabla" 500 baş alacağımızı gözləyirdik. Biz 502 rəhbərləri, və ya 497 var, əgər Lakin, biz, demək deyilbu çox asanlıqla "təsadüfən" ola bilər: sikkə qərəzli olduğunu şübhəli. Digər tərəfdən, 700 başımız (və ya 300) olsaydı, sikkənin dod gy olduğuna şübhə edərdik!

Bu bir sual doğurur: çirkin desək, şübhə doğurmalı olan ortalamadan sapmanın minimum səviyyəsi nədir?

Əslində bu , elmi prosesdə bəlkə əsas sualdır. Müəyyən bir ölçünün müəyyən bir modelə uyğun olmadığını ağlabatan bir şübhə olmadan deyə bilərikmi? Məsələn, 1000 başdan 700 başın ölçülməsi qərəzsiz bir sikkə modeli ilə ziddiyyət təşkil edirmi? (Bəli).

LHC elm adamları Higgs bozonunun kəşfini elan etməzdən əvvəl, siqnalın təsadüfi dalğalanmalara görə yalnız "təsadüfən" əmələ gəlmədiyinə inandırmalı idilər. Başqa sözlə soruşdular: Higgs bozonunun ölçülməsi statistik baxımdan əhəmiyyətlidirmi? (Bəli idi!)

P ython -da sadə bir simulyasiya

Sikkəni bir dəfə çevirmək olduqca əyləncəlidir, amma 1000 dəfə çevirmək yorucu işdir! Birdən çox sikkə atma statistikasını araşdırmaq üçün təsadüfi moduldan istifadə edərək Python proqramından istifadə edə bilərik.

Birincisi, təsadüfi ədəd generatorunu idxal təsadüfi ilə idxal etməliyik. İndi, aşağıdakı sətirlə dəfələrlə 100 0 atış simulyasiyasını sınaya bilərik:

Tezlik paylanması

Bu sınaqların nəticələrini vizual olaraq izləməyə çalışaq. Bunun bir yolu, x-oxundakı başların sayını və y-oxundakı təkrarlanma tezliyini göstərən bir tezlik paylamasından istifadə etməkdir. Bir çubuq qrafiki qurmaq üçün pylab kitabxanasından istifadə edən bəzi Python kodu:

Burada hər biri 1000 sikkə atma olan 1000 sınaqdan istifadə etdim. Tipik bir tezlik diaqramı belə görünür:

455 və 555 baş.

Hər rial (n) başına atma sayını və sınaq sayını azaltmağa çalışın. Nə tapırsan?

Daha çox rial və daha çox os

On dəfə daha çox sınaqdan (10000) istifadə etsək, belə bir bərabərlik payı əldə edirik:

D istribution daha hamardır; sıxıntılar azaldıldı. Ancaq "zəng" in eni təxminən eyni qaldı.

Hər sınaq üçün on qat daha çox atış istifadə etsək, belə bir pay alırıq:

Ortalama on qat daha böyükdür (açıqdır). Ancaq zəngin eni təxminən 3 dəfə artdı (40 -dan 12 0 -a). Səbəbini anlamağa çalışaq.

M ean, varyans və standart sapma

" Orta" ortalamanı tapmaq üçün hər bir sınaqdakı başların sayını sınaqların sayına bölməliyik.

Variant, tezlik bölgüsünün eninin gözlənilən kvadratına bənzəyir. Ortadan sapma kvadratının orta ortalaması olaraq təyin olunur, başqa sözlə, deviat ionunun s karesinin ortalamasından s um (t riallarının sayını götürülmüş) sınaqlar.

Standart sapmavari Civzə kvadrat köküdür. Təxminən spea king, çiyin-çiyinə ölçülən "be ll" eninin yarısına və ya bazadan bazaya ölçülən altıda birinə uyğun olmalıdır. Sağlam olmayan bir pəhriz üçün aşağıdakı əyrinin diaqramına baxın.

Binomial paylanma

Yuxarıdakı müşahidələrimizi Binomial Dağılımın ortalamasını və dispersiyasını nəzərə alaraq başa düşmək olar. Ortabinomial paylanması var np. Bizim vəziyyətimizdə, n, hər bir sınaqdakı t osses sayıdır və p = 0.5, bir sikkənin yuxarı qalxma şansıdır . Beləliklə, 1000 atış ortalaması, gözlənildiyi kimi 500 -dir.



Variancebir binomial Distr ibution edir np (- 1p). Beləliklə, standart sapma (bizim vəziyyətimizdə) n-nin 2 -ə bölünmüş kvadrat köküdür . On qat daha çox t osses ilə, paylanmanın genişliyinin bir qat artmasını gözləyirik

3.1 62. Beləliklə, nisbi genişlik 3.16 2 qat azalır.

Bell əyrisi

Normal paylamaolaraq da bilinən zəng əyrisi, eksponensial funksiyanı özündə birləşdirən bir düsturla və tanış dostumuz π ilə izah olunur:

Başların sayının bölgüsünün bir qədər zəng əyrisinə bənzədiyini artıq gördük. Niyə bu? T ossesnsayı sonsuzluğa doğru getdikcəbin omial d istribution normal paylanmaya yaxınlaşır! Yəni , ntossesdə kbaşını alma ehtimalı, tərəfindən verilir

(burada C (k, n) binomial əmsaldır) yuxarıdakı düstura x = k, μ = n / 2σ 2 = n / 4daxil etdikdən sonra normal paylama formuluna doğru meyl edir .